Espirales

¿Qué es una espiral?

Una espiral es una curva en el plano o en el espacio, que corre alrededor de un centro de una manera especial.

Diferentes espirales siguen. La mayoría de ellos son producidos por fórmulas.

Espirales por ecuaciones polares

Espiral de Archimedean

Puede hacer una espiral con dos movimientos de un punto: hay un movimiento uniforme en una dirección fija y un movimiento en círculo con velocidad constante. Ambos movimientos comienzan en el mismo punto.

 

 

 

 

(1) El movimiento uniforme a la izquierda mueve un punto a la derecha. – Hay nueve instantáneas.

(2) El movimiento con una velocidad angular constante mueve el punto en una espiral al mismo tiempo. – Hay un punto cada 8vo turno.

(3) Una espiral como curva viene, si dibujas el punto en cada vuelta.


Obtienes fórmulas analógicas a las ecuaciones del círculo.

Circulo

Sea P un punto de un círculo con el radio R, que viene dado por una ecuación en la posición central.

Hay tres descripciones esenciales del círculo:

(1) Ecuación central: x² + y² = R² o [y = sqr (R²-x²) yy = -sqr (R²-x²)],

(2) Forma del parámetro: x (t) = R cos (t), y (t) = R sin (t),

(3) Ecuación polar: r (t) = R.

Usted da un punto por un par (radio OP, ángulo t) en la ecuación polar (simple). El radio es la distancia del punto desde el origen (0 | 0). El ángulo se encuentra entre el radio y el eje x positivo, su vértice en el origen.

Espiral

El radio r (t) y el ángulo t son proporcionales para la espiral más simple, la espiral de Arquímedes. Por lo tanto, la ecuación es:

(3) Ecuación polar: r (t) = en [a es constante].

De esto sigue

(2) Forma del parámetro: x (t) = at cos (t), y (t) = en sin (t),

(1) Ecuación central: x² + y² = a² [arco tan (y / x)] ².

La espiral de Arquímedes comienza en el origen y forma una curva con tres rondas.

Las distancias entre las ramas espirales son las mismas.

Más exacto: las distancias de los puntos de intersección a lo largo de una línea a través del origen son las mismas.


Si reflejas una espiral de Arquímedes en línea recta, obtienes una nueva espiral con la dirección opuesta.
Ambas espirales salen hacia afuera. Si miras las espirales, la izquierda forma una curva que va hacia la izquierda, la derecha forma una curva hacia la derecha.

Si conecta ambas espirales por una curva recta (roja) o arqueada, se desarrolla una doble espiral.


Espiral equiangular (Espiral logarítmico, Espiral de Bernoulli)

(1) Ecuación polar: r (t) = exp (t).

(2) Forma del parámetro: x (t) = exp (t) cos (t), y (t) = exp (t) sin (t).

(3) Ecuación central: y = x tan [ln (sqr (x² + y²))].

La espiral logarítmica también va hacia afuera.

La espiral tiene una característica característica: cada línea que comienza en el origen (rojo) corta la espiral con el mismo ángulo.


Más espirales

Si reemplazas el término r (t) = at de la espiral de Arquímedes por otros términos, obtienes varias espirales nuevas. Hay seis espirales, que puede describir con las funciones f (x) = x ^ a [a = 2,1 / 2, -1 / 2, -1] y f (x) = exp (x), f ( x) = ln (x). Usted distingue dos grupos dependiendo de cómo el parámetro t crece desde 0.

Si el módulo absoluto de una función r (t) aumenta, las espirales se ejecutan desde adentro hacia afuera y superan todos los límites.

La espiral 1 se llama espiral parabólica o espiral de Fermat.


Si el módulo absoluto de una función r (t) está disminuyendo, las espirales corren de afuera hacia adentro. Generalmente corren hacia el centro, pero no lo alcanzan. Hay un polo.

Spiral 2 se llama Lituus (bastón torcido).

Elegí ecuaciones para las diferentes fórmulas en espiral adecuadas para el trazado.


Tapa del Clothoide (Cornu Spiral)

La espiral clotoide o doble es una curva cuya curvatura crece con la distancia desde el origen. El radio de curvatura es opuesto a su arco medido desde el origen.

La forma del parámetro consiste en dos ecuaciones con las integrales de Fresnel, que solo se pueden resolver aproximadamente.

 

Usas la espiral de Cornu para describir la distribución de energía de la difracción de Fresnel en una sola rendija en la teoría de las olas.


Espirales hechas de arcos

Espirales de medio círculo

Puede agregar semicírculos creciendo paso a paso para obtener espirales.

Los radios tienen las proporciones 1: 1.5: 2: 2.5: 3 …..


Espiral de Fibonacci

Dibuja dos cuadrados pequeños uno encima del otro. Agregue una secuencia de cuadrados de crecimiento en sentido contrario a las agujas del reloj.

Dibuja cuartos de círculos dentro de los cuadrados (negro).

Ellos forman la Espiral de Fibonacci.

La espiral de Fibonacci se llama después de sus números. Si toma la longitud de los lados cuadrados en el orden, obtendrá la secuencia 1,1,2,3,5,8,13,21, … Estos son los números de Fibonacci, que puede encontrar mediante la fórmula recursiva a (n) = a (n-1) + a (n-2) con [a (1) = 1, a (2) = 1, n> 2].



Espirales hechas de segmentos de línea

 

La espiral está hecha por segmentos de línea con las longitudes 1,1,2,2,3,3,4,4, ….

Las líneas se encuentran en ángulos rectos.

 


Dibuja una espiral en un cruce con cuatro líneas rectas que se cruzan, que forman ángulos de 45 °. Comience con la línea horizontal 1 y doble la siguiente línea perpendicularmente a la línea recta. Los segmentos de línea forman una secuencia geométrica con la razón común sqr (2).

Si dibujas una espiral en un haz de líneas rectas, te acercas a la espiral logarítmica, los ángeles se vuelven cada vez más pequeños.


La siguiente espiral está formada por una cadena de triángulos en ángulo recto, que tienen un lado común. La hipotenusa de un triángulo se convierte en la pierna del siguiente. El primer enlace es un cuadrado de 1-1-sqr (2).

Las piernas libres forman la espiral.

Es especial que los triángulos toquen segmentos de línea. Sus longitudes son las raíces de los números naturales. Puedes probar esto con el teorema de Pitágoras.

Esta figura se llama raíz espiral o caracol de la raíz o rueda de Theodorus.


Los cuadrados se giran alrededor de su centro con 10 ° y se comprimen al mismo tiempo, de modo que sus esquinas permanecen a los lados de su casilla anterior.

Resultado: las esquinas forman cuatro brazos espirales. La espiral es similar a la espiral logaritmo, si los ángulos se hacen cada vez más pequeños.

También puede convertir otros polígonos regulares, p. un triángulo equilátero. Obtienes figuras similares.

Esta imagen me recuerda el lenguaje de programación LOGO de los primeros días de la informática (C64-nostalgia).



Espirales tridimensionales

Hélice

 

Si dibuja un círculo con x = cos (t) e y = sin (t) y lo tira de manera uniforme en la dirección z, obtendrá una espiral espacial llamada espiral cilíndrica o hélice.

 


El par de imágenes hace posible una vista en 3D.

 

 

 

 


Refleja la espiral 3D en un plano vertical. Obtienes una nueva espiral (roja) con la dirección opuesta.

Si sostienes tu mano derecha alrededor de la espiral derecha y si tu pulgar apunta en la dirección del eje espiral, la espiral corre en sentido horario hacia arriba. Es correcto circular.

Debes usar tu mano izquierda para la espiral izquierda. Se deja circular. La rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj.

Ejemplo: casi todos los tornillos tienen una rotación en el sentido de las agujas del reloj, porque la mayoría de las personas son diestras.


En la literatura “técnica”, la espiral circular derecha se explica de la siguiente manera: enrollas un triángulo rectángulo alrededor de un cilindro. Se desarrolla una espiral giratoria en el sentido de las agujas del reloj, si el triángulo aumenta hacia la derecha.


Conical Helix

Puedes hacer la hélice cónica con la espiral de Arquímedes o espiral equiangular.


Los pares de imágenes hacen posible vistas en 3D.

 

 

 

 


Loxodrome, Spherical Helix

El loxodrome es una curva en la esfera, que corta los meridianos en un ángulo constante. Aparecen en la proyección de Mercator como líneas rectas.

La representación paramétrica es

x = cos (t) cos [1 / tan (at)]

y = sin (t) cos [1 / tan (at)]

z = -sin [1 / tan (at)] (a es constante)

Puedes averiguar x² + y² + z² = 1. Esta ecuación significa que el loxodrome está sobre la esfera.

Generalmente hay un loxodrome en cada sólido hecho por la rotación alrededor de un eje.


Fabricación de espirales

Una tira de papel se convierte en una espiral, si tira de la tira entre el pulgar y el borde de un cuchillo, presionando con fuerza. La espiral se convierte en un rizo donde la gravedad está presente.

Utiliza este efecto para decorar los extremos de materiales sintéticos, como las angostas cintas de colores o cintas utilizadas para envolver regalos.

Supongo que tienes que explicar este efecto de la misma manera que una barra bimetálica. Usted crea una barra bimetálica pegando dos tiras, cada una hecha de un metal diferente. Una vez que esta barra bimetálica se calienta, una tira de metal se expande más que la otra y la barra se dobla.

La razón por la que la tira de papel se dobla no tiene tanto que ver con la diferencia de temperatura entre los lados superior e inferior. El cuchillo cambia la estructura de la superficie del papel. Este lado se vuelve ‘más corto’.

A propósito, una tira de papel se doblará levemente si la sostienes al calor de la llama de una vela.

La formación de rizos me recuerda a un viejo juego para niños: toma una flor de diente de león y corta el tallo en dos o cuatro tiras, manteniendo la cabeza intacta. Si coloca la flor en un poco de agua, de modo que la cabeza flote sobre la superficie, las tiras del tallo se curvarán. (Cuidado con los puntos)

Una posible explicación: tal vez la diferente absorción de agua en cada lado de las tiras les hace encogerse.



Mandelbrot Set Spirals

Las coordenadas pertenecen al centro de las imágenes.


También encuentras agradables espirales como Julia Sets. Aquí hay un ejemplo:

Puede encontrar más información sobre estos gráficos en mi página Conjunto Mandelbrot



Espirales hechas de metal

Encontrará agradables espirales como decoración de ventanas con barrotes, vallas, puertas o puertas. Puedes verlos en todas partes, si miras a tu alrededor.

Encontré espirales dignas de mostrar en New Ulm, Minnesota, EE. UU.

Los estadounidenses con ascendencia alemana construyeron una copia del monumento a Herman cerca de Detmold / Alemania alrededor de 1900.

Barandillas de hierro con muchas espirales decoran las escaleras (foto).

Más sobre Herman americano y alemán en páginas de Wikipedia (URL a continuación)


Las joyerías de vestuario también toman espirales como motivo.

 

La espiral de Annette

 

 


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Original Source: http://www.mathematische-basteleien.de/spiral.htm